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  1. Man zerlege die Zahl 91 in zwei geeignete Summanden, so dass, wenn man die Quadrate über die Summanden addiert, die Zahl 4505 erhält.

    Lösung:

    Wir stellen zwei Gleichungen auf:

    => 91 = x + y
    => 4505 = x2 + y2

    Dan lösen wir die erste Gleichung nach einer Variablen auf (kann man sich aussuchen, welche), z.B. nach y:
    y = 91 - x
    und setzen sie in die erste Gleichung ein und erhalten eine quadratische Gleichung.
    4505 = x2 + (91 - x)2
    4505 = x2 + 8281 - 182x + x2
    4505 = 2x2 - 182x + 8281
    Jetzt kann man diese Gleichung mit Hilfe der "p-q-Formel" auflösen: 4505 = 2x2 - 182x + 8281
    2252,5 = x2 - 91x + 4140,5
    0 = x2 - 91x + 1888
    x1/2 = 45,5 ± √2070.25 - 1888
    x1/2 = 45,5 ± √182.25
    x1/2 = 45,5 ± 13,5
    x1 = 59, x2 = 32

    Das Ergebnis ist also x = 59, y = 32.

    Schauen wir uns nochmal die Gleichung zum Lösen quadratischer Gleichungen an ("p-q-Formel"):

    Normalform:   0 = x2 + px + q
    zwei Lösungen:   x1/2 = -p/2 ± √p2/4 - q
  2. Auf einem Bahnsteig stehen vier Koffer nebeneinander. Jeder dieser Koffer ist zwei Kilogramm schwerer als sein Nachbar. Zusammen wiegen die Koffer 56 Kilogramm. Wie viel kg wiegen die einzelnen Koffer?

    Lösung:

    Diese einfache Textaufgabe läuft darauf hinaus, eine Gleichung aufzustellen. Nehmen wir die Variable (Veränderliche, also die Zahl, die wir suchen, ausrechnen möchten) x.

    VIER Koffer nebeneinander
    56 = x1 + x2 + x3 + x4
    56 = x1 + x1 + 2 + x1 + 4 + x1 + 6
    4x1 + 12 = 56
    4x1 = 44
    x1 = 11
    x2 = x1 + 2 = 13
    x3 = x2 + 2 = 15
    x4 = x3 + 2 = 17
    Antwort: der erste Koffer wiegt 11 kg, der zweite 13, der dritte 15 und der vierte 17 kg, zusammen also 56 kg!